Тест Интерполация на функции
1. Формула на Лагранж
2. Интерполация по схемата на Aitken
3. Интерполационни формули на Нютон за равноотдалечени възли
4. Формула на Нютон с разделени разлики
5. Интерполация чрез сплайни
Цел на работата: изследване и сравнителен анализ на методите за интерполация на функции; прилагане на тези методи под формата на машинни програми на език от високо ниво и практическо решаване на проблеми с интерполация на компютър.
При разработването на CAD софтуер често се налага да се работи с функцииf(x), дадени под формата на таблици, когато са известни някои краен набор от стойности на аргументи и съответните стойности на функциите. Аналитичният израз на функциятаf(x) е неизвестен, което не позволява определяне на нейните стойности в междинни точки на аргумента, които не са в таблицата. В този случай се решава проблемът с интерполацията, който се формулира по следния начин.
Геометрично това означава, че трябва да намерите криваy = F(x) от определен тип, минаваща през дадена система от точкиMi(xi,yi) заi= . Формулата за интерполацияy=F(x), получена по този начин, обикновено се използва за изчисляване на стойностите на оригиналната функцияf(x) за стойностите на аргументаx, различни от интерполационните възли. Тази операция се нарича интерполация на функцияf(x). В същото време се разграничава интерполация в тесен смисъл, когатоxпринадлежи към интервала [x0,xn], и екстраполация, когатоxне принадлежи към този интервал.
В такава обща формулировка интерполационният проблем може да има безкраен брой решения. За да получите единствената функцияF(x), е необходимо да се приеме, че тази функция не е произволна, а удовлетворява някои допълнителни условия.
В най-простия случай се приема, че зависимосттаy=f(x) за всеки интервал (xi,xi+1) е линейна. След това за всеки сегмент (xi,xi+1) като интерполационна формулаy=F(x), уравнението на права линия, минаваща през точкитеMi(xi,yi) иMi+1(xi+1,yi+1) е употребявана, която има изглед
.(1)
При програмиране на процедури за линейна интерполация трябва да се има предвид, че процесът на решаване на задачата за интерполация с формула (1) включва два етапа: избор на интервала (xi,xi+1), който съдържа стойността на аргументах; действителното изчисляване на стойносттаy=F(x) съгласно формула (1).
На практика алгебричен полином обикновено се използва като интерполираща функцияF(x)
степен най-многоnтака чеPn(x0)= y0,Pn(x1)= y1, .Pn(xn)= yn. Най-известните методи за конструиране на интерполационния полиномPn(x) са методът на Лагранж, итеративните и диференциалните методи.
1. Формула на Лагранж
Формулата за интерполация на Лагранж осигурява конструирането на алгебричен полиномPn(x) за произволно дадени интерполационни възли. Заn+ 1 различни стойности на аргументx0,x1, .xnи съответните функционални стойностиf(x0)=y0,f(x1)=y1, .f(xn)=ynинтерполационната формула на Лагранж има формата
,
къдетох-стойността на аргумента на функцията, разположен в интервала [x0,xn].
Трябва да се отбележи, че формулата на Лагранж, за разлика от други формули за интерполация, изрично съдържаyi(i=), което понякога е важно.
Пример 1.Конструирайте интерполационния полином на Лагранж за функцията, дадена в следната таблица.