Твърдо моделиране на секции - презентация по геометрия
Моделиране в плътна геометрия
Теорема: Ако две неуспоредни прави, принадлежащи на една и съща равнина, пресичат права, която не лежи в тази равнина, тогава и трите прави се пресичат заедно в една точка.
Методът на трасирането в задачи за изграждане на сечения Горните примери за сечения на тела показват полезността на разширяването на сеченията извън обема на фигурите - получените триъгълни форми правят процедурата по конструиране по-ясна. При чертането линиите, които образуват такива триъгълници, се наричат следи от сечението върху съответните равнини. Процедурата за намиране на сечения от триизмерни тела с помощта на тези прави линии се нарича метод на проследяване.
Задача 1 Построете сечение на триъгълната пирамида SABC с равнина, минаваща през точките P,Q,R, лежащи на ръбовете SA,SB,AC.
Решение. За да определим следата на сечението върху равнината на основата на пирамидата SABC, отбелязваме, че една от нейните точки R е дадена от условието на задачата, а другата точка U може да се намери, като се продължи отсечката PQ до пресечната точка с правата AB, която принадлежи на основата на ABC. Свързвайки точките U и R, получаваме следата на сечението, чието пресичане с ръба BC дава желания връх T на четириъгълната плоска фигура на сечението PRTQ.
Задача 2 Построете сечение на четириъгълна пирамида SABCD с равнина, минаваща през точките P, Q, R, лежащи на страничните ръбове SA, SB, SC.
Решение Очевидно е необходимо да се определят пресечните точки на сечещата равнина с долните ръбове на пирамидата SABCD, т.е. достатъчно е да се намери следата на сечението върху основната равнина ABCD. Продължавайки сегментите PQ и QR до пресечната точка с правите AB и BC, принадлежащи на равнината ABCD, намираме точките V и U. Свързвайки тези точки, получаваме следа от равнината на сечение върху лицето ABCDпирамиди. Пресечните точки T и W на следата със страните на основата ABCD са желаните върхове на сечението на пирамидата ABCD.
Задача 3 Да се построи сечение на триъгълна призма ABCDA1B1C1D1, минаваща през дадени три точки M, O, N, лежащи на съседни ребра AB, BB1, B1C1.
Решение: Очевидно е, че правата OM е следа от равнината на сечението на призмата върху лицето й AA1ВB1. Точката S, нейното пресичане с продължението на ръба AA1, принадлежи на следата на сечещата равнина върху лицето AA1CC1. За да намерим друга точка V от тази следа, продължаваме линията ON, докато се пресече с продължението на ръба CC1. Свързвайки тези точки, получаваме линия на сечение, която пресича ръбовете на лицето AA1ВB1 в точки T и U. Петоъгълникът MONUT е необходимото сечение.
Задача 4 Построете сечение от куба ABCDA1B1C1D1, минаващо през три точки P, Q, R, лежащи на съседни ръбове A1B1, B1C1, AA1.
Решение: Свържете точките P и Q, P и R една с друга. Правата PR е следата от равнината на сечението на куба върху равнината на лицето му AA1ВB1. Пресечните точки U и S на тази следа с продълженията на ръбовете AB и BB1 са точките на следите на сечението върху лицата ABCD и BB1CC1. Тъй като точката Q също принадлежи на лицето BB1CC1, намираме следата на сечението ST върху това лице. Свързвайки точките T и U, получаваме третата следа от сечението на равнината ABCD. Пресечните точки на намерените три следи с ръбовете на куба определят неговото шестоъгълно сечение PRVWHQ.
Построете сечение на паралелепипед от равнина, минаваща през точките: