19. Ранг на матрицата. Системи линейни уравнения
НекаPе някакво фиксирано поле и некаA= произволна матрица с размерностM´N.Всяка колона от матрицата може да се разглежда катоM-дименсионален вектор отM-мерно аритметично пространствоAM. Тогава системата от матрични колони ще бъде система отM-Дименсионални векториA1= (A11, a21, ... , aM1),A2= (A12, a22, ... , aM2), ... ,AN= (А1N, а2N, … , аMn).
Дефиниция 26. Рангът на колонатана матрицатаАНарича се ранг на системата от нейните вектори – колони.
По аналогия с колоните, всеки ред на матрицатаAможе да се разглежда катоN-мерен вектор отN-Измерното аритметично пространствоAN .
Определение 27. Рангът на редана матрицатаАНарича се ранг на системата от нейните вектори – редове.
Теорема 18.Рангът на колона на матрица е равен на най-високия ред сред нейните ненулеви второстепенни.
Доказателство.Ако всички матрични елементи са нули на полеР, то всички негови колони са нулеви вектори. Рангът на тази система от вектори е равен на нула. В матрицатаAвсички минори от първи ред, всички минори от втори ред и т.н. са равни на нула. Можем да приемем, че максималният ред на ненулевите минори е нула.
Нека в матрицатаAне всички елементи са равни на нула, тогава в матрицата има ненулеви минори. Избираме минор от най-висок порядък сред всички ненулеви. Когато колоните се пренаредят, рангът на системата от колонни вектори няма да се промени. При пренареждане на редовете на матрицата ще се промени само редът на координатите на векторите (в същото време всички вектори имат еднакъв ред). Следователно тази пермутация също няма да промени ранга на системата от колонни вектори. Пренаредете редовете, ако е необходимои колони на матрицата, така че избраното от нас второстепенно М да се намира в горния ляв ъгъл на матрицата. Нека неговият ред еК.Да разгледаме системата от колонни вектори на матрицатаА.Нека ги означим сА1, … , ak, ak+1, … , an.ВекторитеA1, … , akса линейно независими, в противен случай избраният от нас минор би бил равен на нула. Нека покажем, че всеки друг колонен вектор може да бъде изразен линейно чрез тях. За да направим това, ограждаме избрания минор с произволна колона с числоК+1,К+ 2, ... ,Nи произволно
A =
низ. Ако номерът на този ред не е по-голям отK, тогава получената детерминанта ще има два еднакви реда, следователно е равна на нула. Ако номерът на граничния ред е по-голям отK, тогава той ще бъде второстепенен на матрицатаAот ред (K+ 1), следователно е равен на нула по условие. И така, детерминантата е равна на нула за всякоS,равно наk+ 1, … ,Nи всякоР,равно на 1, 2, … ,M.
= 0.
Разширявайки последния ред, получаваме
Тъй като M ¹ 0, тогава .
Ако номерът на колонатаSе фиксиран, тогава алгебричните добавкиAr1, … ,Arcне се променят, когато номерът на редP.се промени. СледователноAs=A1– … –Ak. И така, всеки колонен вектор на матрицатаAсе изразява линейно чрез първитеKот своите колони. Следователно рангът на колоната на матрицата е равен наK,Това е най-големият ред на нейните ненулеви второстепенни.
Следствие.Рангът на реда на една матрица е равен на ранга на нейната колона.
Доказателство.Транспонирайте матрицатаA.В този случай векторите редове на матрицатаAще станат вектори колони на транспонираната матрицаAT. Когато една матрица се транспонира, всички нейни второстепенни също се транспонират. Тъй като детерминантата не се променя по време на транспониране,тогава максималният ред на ненулевите минори в матрицитеAИATе същият. По доказаната теорема редовете на колоните на тези матрици са еднакви. Тук следва твърдението на следствието.
Тъй като ранговете на колоните и редовете на матриците са равни, можем да дефинираме:
Дефиниция 28. Рангът на матрицае рангът на система от нейните вектори колони (или вектори редове).
От теоремата за ранга на матрицата следва, че ако намерим в матрицатаAминорMK--ти ред, който е различен от нула, тогава сред минорите от (K+ 1) ред е достатъчно да разгледаме само тези, които са получени чрез ограждане на минораM.Ако всички те са равни на нула, тогава рангът на матрицата е K.Освен това, минорът от най-високия ред сред ненулевите ще наричамеБазисен минор.
Пример.Намерете ранга на матрицатаА= в зависимост от b.
Решение.Тъй като не всички елементи на матрицата са равни на нула, то нейният ранг е не по-малък от 1. Тъй като втората и третата колона са еднакви, една от тях може да се изхвърли и да се намери рангът на матрицатаА1=. От второстепенните минори само един не съдържа b, но този минор е равен на 0. Разгледайте минора M1 = За b = 0, матрицатаA1има формата . Тя има само една ненулева колона, следователно нейният ранг е 1. Ако , тогава M1 ¹ 0, т.е. рангът на матрицата е най-малко 2. Малката M1 може да бъде оградена с третия ред и третата колона или четвъртия ред и третата колона. Получаваме М2 = . Тъй като , тогава M2 ¹ 0. В матрицатаA1няма минори от 4-ти ред, така че rangA= rangA1= 3.
И така, за b = 0 рангA= 1,за b ¹ 0 рангA =3.
Теорема 19.Елементарните трансформации на една матрица не променят нейния ранг.
ДоказателствоСледва от факта, че за elementaryматрични трансформации, получаваме еквивалентни системи от нейните вектори-редове.