Дефиниция на неопределения интеграл - Студопедия

Цялото множество от първоизводни на функциятаf(x)се нарича неопределен интеграл на тази функция и се означава с .

Изразът се наричаинтегранд, аf(x)се наричаинтегранд. Интегралната функция е диференциалът на функциятаf(x).

Действието за намиране на неизвестна функция по нейния даден диференциал се наричанеопределеноинтегриране, тъй като резултатът от интегрирането не е една функцияF(x), а набор от нейните първоизводниF(x)+C.

Въз основа на свойствата на производната е възможно да се формулират и докажатсвойствата на неопределения интеграл (свойствата на първоизводната).

  1. Производната на резултата от интегрирането е равна на интегралната функция.
  2. Неопределеният интеграл на диференциала на функция е равен на сумата от самата функция и произволна константа.
  3. , къдетоkе произволна константа. Коефициентът може да бъде изваден от знака на неопределения интеграл.
  4. Неопределеният интеграл на сбора/разликата на функциите е равен на сбора/разликата на неопределените интеграли на функциите.

За пояснение са дадени междинни равенства на първо и второ свойство на неопределения интеграл.

За доказване на третото и четвъртото свойство е достатъчно да се намерят производните на десните части на равенствата:

Тези производни са равни на интеграндите, което е доказателството по силата на първото свойство. Използва се и при последните преходи.

По този начин проблемът с интеграцията е обратният проблем на диференциацията и има много тясна връзка между тези проблеми:

  • първото свойство позволява проверка на интеграцията. Да проверякоректността на извършеното интегриране е достатъчно да се изчисли производната на получения резултат. Ако функцията, получена в резултат на диференциране, се окаже равна на интегранта, това ще означава, че интегрирането е извършено правилно;
  • второто свойство на неопределения интеграл ни позволява да намерим неговата първоизводна от известния диференциал на функция. Прякото изчисляване на неопределени интеграли се основава на това свойство.

  • По същия начин от формулата
  • Нека сега разгледаме друга форма на промяна на променливата. Некаf(x) е непрекъсната функция, дефинирана на някакъв интервал [a,b]. Нека приемем, чеx=φ(t) е функция, дефинирана в друг интервал [α,β], която има производнаφ'(t) там и удовлетворява неравенстватаa≤φ(t) ≤b. Нека освен това има обратна функцияt=ψ(x), дефинирана на [a,b]. Разгледайте интеграла
  • Според казаното по-горе, за да се намери този интеграл, е необходимо да се пренапише във формата
  • и заменетеφ(t) сx, което ще ни доведе до интеграла
  • Този последен интеграл със сигурност съществува (защотоf(x), тъй като е непрекъснат, има първоизводна). Позволявам
  • След това, прилагайки първото правило за заместване към интегралаI1, получаваме:
  • Оттук следва, че
  • Ако отбележим също, чеF(t) не е нищо друго освенA[φ(t)], т.е. антипроизводното заf[φ(t)]φ'(t), тогава можем да формулираме
  • Взаимно разположение на два реда
  • Ако линиите са дадени от уравненията и тогава те са:
  • 1) паралелни (но не еднакви)
  • 2) мач
  • 3) пресичат се
  • 4) кръстосват се
  • Ако тогава се появят случаи 1 - 4, когато ( е знакът за отрицание на условието):
  • 1)
  • 2)
  • 3)
  • 4)
  • Разстояние между две успоредни линии

Не намерихте това, което търсихте? Използвайте търсачката:

Деактивирайте adBlock! и обновете страницата (F5)наистина е необходимо