Динамични модели в биологията
Нека се разгледа хомогенната задача (1.1) - (1.2).
където операторът A е положително полуопределен и решението е достатъчно гладко. Предполагаме, че решението удовлетворява определени гранични условия на границата. Освен това ще приемем, че е извършено приближение с крайни разлики на съответния еволюционен проблем във всички променливи, с изключение на времевата променлива t (т.е. A е матрица, е мрежова функция, зависеща от t).
Да предположим първо, че операторът A не зависи от t. Схемата на Кранк-Николсън за хомогенен проблем е написана в следната форма:
Той приближава първоначалния проблем с втория ред в . Тази схема е резултат от алтернативно прилагане на схемите от първи ред на точност, изрични и неявни, написани за интервали от време и съответно:
Като изключим неизвестното от тази система от диференциални уравнения, стигаме до схемата на Кранк-Николсън (8). Примери за използването на тази схема могат да бъдат намерени в работи по моделиране на хидроложките характеристики и процеси на разпространение на примеси в реките (Arguchintsev, Arguchintseva, 2000), изследването на изчислителните свойства на консервативните схеми за уравненията на бароклинните течения в езерата (Arkhipov, 1986), моделирането на вятърни течения в плитки водни тела (Güting, Hutter, 1998), изследване на различни числени схеми за решаване на уравнение от типа адвекция-дифузия (Yang et al., 1998).
Нека сега разгледаме случая, когато операторът A зависи от времето и в първоначалната задача се апроксимира с диференциален оператор, който обозначаваме с . Тогава ще се занимаем със следната задача на линейната алгебра
освен това се приема, че , т. е. диференциалният оператор е положително полуопределен за всякакви функции от подпространството Ф. Уравнение (10) е разрешимоотносително непознат. Вземете
или , където е стъпковият оператор: . За да докажем стабилност, умножаваме (10) скаларно по . Вземете
Тъй като операторът на разликата е положително полуопределен по условие, тогава от последното равенство получаваме, че , т.е. стабилността на схемата е осигурена (равенството ще се осъществи в случай на кососиметричен оператор , т.е. когато ).
Нека сега разгледаме въпроса за реда на приближение в схемата на Кранк-Николсън, когато операторът А зависи от времето. Показано е (Марчук, 1988), че ако като апроксимиращ оператор се избере , то схемата ще има първи ред на апроксимация във времето. Ако апроксимиращият оператор е избран във формата или , то в този случай схемата на Кранк-Николсън ще има втори ред на апроксимация по отношение на .
В случай на нехомогенна система от уравнения (3.1) - (3.2)
апроксимацията на разликата на проблема, базирана на схемата на Кранк-Николсън при предположенията, формулирани по-горе, има формата, подобна на (8):
Където . Тази схема има втори ред на приближение в . Може да се представи под формата на операторно уравнение
с оператора стъпка. Нека покажем, че тази схема е стабилна. Уравнение (13) предполага това
Тъй като , и връзката е в сила, оттук, на базата на лемата на Келог, по необходимост следва, че и . Следователно (14) води до неравенството
Приемайки , , с помощта на рекурентната връзка (15) получаваме това
По този начин връзката (16) показва стабилността на диференциалната схема и освен това е априорна оценка на нормата на решението.