Геометрия на Риман
През 1846 г.Риман Георг Фридрих Бернхард постъпва в университета в Гьотинген. Младият студент слушал лекциите на изключителния немски математик Карл Гаус. В Берлинския университет Бернхард Риман посещава лекции на К. Якоби по механика и П. Дирихле по теория на числата. Знанията, получени от тези брилянтни учени, по-късно ще бъдат развити от Риман. В университета в Гьотинген Риман си сътрудничи с талантливия физик В. Вебер. Благодарение на Вебер Риман се интересува от проблемите на математическото естествознание. През 1851 г. Риман защитава докторската си дисертация „Основи на общата теория на функциите на една комплексна променлива“. През 1857 г. става професор в университета в Гьотинген. Лекциите на професор Риман формират основата на редица нови курсове, като математическа физика, теория на гравитацията, електричество и магнетизъм и елиптични функции.
Изследователската работа на Бернхард Риман има огромно влияние върху развитието на математиката в края на 19-ти и началото на 20-ти век.
Още в докторската си дисертация Риман полага основите на геометричната посока на теорията на аналитичните функции. Изключителният математик и геометър Риман въвежда т. нар. Риманови повърхности, които играят важна роля в изучаването на многозначни функции. Освен това той разработи теорията на конформните преобразувания, представи основните идеи на топологията, проучи условията за съществуване на аналитични функции в региони от различни типове и много повече.
Методите, разработени от Риман, са намерили широко приложение в теорията на алгебричните функции и интегралите, в аналитичната теория на диференциалните уравнения, по-специално уравненията, определящи хипергеометричните функции, в аналитичната теория на числата. Например Риман посочи връзката между разпределението на простите числа исвойства на дзета функцията, а именно: с разпределението на нейните нули в комплексната област - така наречената хипотеза на Риман, но нейната валидност все още не е доказана
През 1854 г. в известната си лекция „За хипотезите, лежащи в основата на геометрията“, Риман дава общата идея за математическо пространство или „многообразие“, включително функционални и топологични пространства. Тук Риман разглежда геометрията като доктрина за непрекъснати n-измерни многообразия, тоест колекции от всякакви хомогенни обекти. Обобщавайки резултатите на К. Гаус върху вътрешната геометрия на повърхностите, Риман формулира концепцията за линеен елемент, така наречената разлика в разстоянието между точките на колектора. Основното постижение на учения Риман е създаването на нова геометрия.
Риманова геометрия е клон на диференциалната геометрия, чийто обект на изследване са главно римановите многообразия. Римановите многообразия са гладки многообразия с допълнителна структура, риманова метрика, т.е. с избор на евклидова метрика за всяко допирателно пространство, което се променя плавно от точка до точка.
Подраздел на риманова геометрия е геометрията като цяло, която разкрива връзката между глобалните свойства на риманово многообразие (например топология или диаметър) и неговите локални свойства (например ограничения върху кривината).
Основните елементи на триизмерната риманова геометрия са точки, прави и равнини.
В риманова геометрия се изпълняват следните твърдения: една права минава през всеки две точки, всеки две равнини се пресичат по една права, всеки две прави, лежащи в една и съща равнина, се пресичат (в една точка), точките на правата са подредени в цикличен ред (както и правите, лежащи в една и съща равнина и минаващи през еднаточка). По този начин изискванията на аксиомите на риманова геометрия, свързани с конгруентност, осигуряват свободното движение на фигурите в равнината и в римановото пространство, както в равнината, така и в евклидовото пространство.
Метричните свойства на равнината на Риман "в малки" съвпадат с метричните свойства на обикновена сфера, а именно: за всяка точка от равнината на Риман съществува част от равнината, съдържаща тази точка и изометрична на някаква част от сферата; радиусът R на тази сфера е еднакъв за всички равнини на дадено риманово пространство. Числото K = 1/R 2 се нарича кривина на римановото пространство. Трябва да се отбележи, че колкото по-малко е K, толкова по-близки са свойствата на фигурите на това пространство до евклидовите.
„Като цяло“ свойствата на равнината на Риман се различават от свойствата на цялата сфера по следното: на равнината на Риман две прави се пресичат в една точка, а на сферата две големи окръжности, които действат като прави в сферичната геометрия, се пресичат в две точки; права линия, лежаща на равнина, не разделя тази равнина, така че ако правата a лежи в равнината a, тогава всеки две точки от равнината a, които не лежат на правата a, могат да бъдат свързани с отсечка, без да пресичат правата a.
Така Риман конструира втори вид неевклидова геометрия, за разлика от геометрията на Лобачевски.
Уникалните идеи и методи, предложени от Риман, отвориха нови пътища за развитие на математиката и намериха приложение в механиката и физиката. Развитието на Риманова геометрия е създаването на тензорно смятане от италианските учени Ричи-Курбастро и Леви-Чивита.