Интеграл на Риман-Стилтьес

Интегралът на Риман-Стилтьес се конструира подобно на интеграла на Риман:

Критерий за съществуване на интеграла на Риман-Стилтьес[редактиране]

Теорема (Критерий за съществуването на интеграла на Риман-Стилтьес):
Доказателство:
[math]\triangleright[/math]
Доказва се подобно на интеграла на Риман.
[math]\triangleleft[/math]

Спомнете си напълно очевидните свойства на функциите с ограничена вариация:

  1. $f, g \in V(a, b) \Rightarrow \alpha f + \beta g \in V(a, b) $
  2. $f, g \in V(a, b) \Rightarrow f g \in V(a, b) $

Сега прехвърляме дефиницията на интеграла на Риман-Стилтьес към $g \in V(a, b)$:

$ g \in V(a, b)$, $g = g_1 - g_2$, $\int\limits_a^b f dg \stackrel \int\limits_a^b f dg_1 - \int\limits_a^b f dg_2$. Обърнете внимание, че така дефинираният интеграл не зависи от избора на $g_1$ и $g_2$, а само от тяхната разлика.

Интегралът на Риман-Стилтьес има линейност и адитивност, както и линейност в тегловната функция: $ \int\limits_a^b f d(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha \int\limits_a^b f dg_1 + \beta \int\limits_a^b f dg_2 $.

Интеграл на Риман-Стилтьес от непрекъсната функция[редактиране]

Теорема (за съществуването на интеграла на Риман-Стилтьес):
Доказателство:
[math]\triangleright[/math]
Тъй като $f$ е непрекъснат на сегмента, той е равномерно непрекъснат, т.е. $\forall \varepsilon > 0 \съществува \delta > 0:
[math]\triangleleft[/math]

Нека прецизираме адитивността на интеграла:

  1. $ \съществува \int\limits_a^b f dg, \съществува \int\limits_a^c f dg, \съществува \int\limits_b^c f dg \Rightarrow\int\limits_a^c = \int\limits_a^b + \int\limits_b^c $
  2. $ \exists \int\limits_a^d \Rightarrow \exists \int\limits_b^c$, където $ [b, c] \in [a, d]$.
  3. За интеграла на Риман съществуването на $\int\limits_a^b $ и $\int\limits_b^c$ предполага съществуването на $\int\limits_a^c$. За интеграла на Риман-Стилтьес в общия случай товане е вярно:

След това върху сегмента [math] [0; 1] [/math] всички [math] \Delta g_k = 0 [/math] , [math] \int\limits_0^1 f dg = 0 [/math] ; върху сегмента [math] [1; 2] [/math] всички [math] \Delta g_k [/math] = 0 с изключение на [math] \Delta g_0 = 1[/math] , [math] \int\limits_1^2 f dg = f(x_0) \Delta g_0 = 1 [/math] .

Може да се провери директно, че и двата интеграла съществуват.

Но на интервала [math] [0; 2] [/math] винаги можете да представите произволно малък дял, съдържащ две точки [math] x_p, x_

[/math] от противоположните страни на единица, така че [math] \omega (f, g, \tau) = 1[/math] не клони към нула.

Формула за интегриране по части[редактиране]

Теорема (формула за интегриране чрез части):
Доказателство:
[math]\triangleright[/math]

$\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_^ f(\xi_k) (g(x_) - g(x_k)) = \\ \sum\limits_^ f(\xi_k) g(x_) - \sum\limits_^ f(\xi_k) g(x_k) = \\ \sum\limits_^n f(\xi_) g(x_j) - \sum\limits_^ f(\xi_k) g(x_k) = \\ = f(\xi_) g(x_n) - f(\xi_0) g(x_0) + \sum\limits_^ g(x_j) (f(\xi_) - f(\xi_j)) = \\ = f(\xi_) g(x_n) - f(\xi_0) g(x_0) - \sum\limits_^ g(x_j) (f(\ xi_j) - f(\xi_ )) $.

Тъй като съществуват интеграли, точките на $\xi_j$ могат да бъдат избрани както искате. Нека вземем $\xi_0 = x_0 = a, \xi_ = x_n = b, \xi_j = x_j, \xi_ = x_$.

Вземете $f(x)g(x) \bigl

[math]\triangleleft[/math]
Твърдение:
[math]\triangleright[/math]
$
[math]\triangleleft[/math]

Редукция до интеграла на Риман[редактиране]

Твърдение:
[math]\triangleright[/math]

От предишното твърдение $g$ е функция с ограничена вариация, така че $\int\limits_a^b f dg$ съществува. Нека напишем неговия интеграл на Stieltjes: $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_^ f(\xi_k) (g(x_) - g(x_k)) =$ (по формулата на Лагранж)

$= \sum\limits_^ f(\xi_k) g'(\xi'_k) \Delta x_k = \sum\limits_^ f(\xi_k) g'(\xi_k) \Delta x_k + \sum\limits_^ f(\xi_k) (g'(\xi'_k) - g'(\xi_k)) \Delta x_k $.

Първият член от дясната страна в ограничението дава $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx $. Помислете за втората част:

Поради равномерната непрекъснатост на $g'$, ако $\operatorname \tau [math]\triangleleft[/math]

Оценка на коефициентите на Фурие на функция с ограничена вариация[редактиране]

Като приложение на тази теорема, ние оценяваме коефициентите на Фурие на $2\pi$-периодичната функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тъй като $f$ може да бъде представено като разлика на две монотонни, монотонните са интегрируеми по Риман, а произведението на интегрируемите е интегрируемо, тогава $f(x) \cos (nx) dx$ е интегрируемо по Риман.

$a_n(f) = \frac \int\limits_^ f(x) \cos(nx) dx = \\ \frac \int\limits_^ f(x) d sin(nx) = \frac \left( f(x) \sin(x) \bigl ^_ - \int\limits_^ sin(nx) df \right) $ Първият член след заместването е настроен на нула, вторият член се изчислява отгоре като $ \bigvee\limits_^(f)$. И така, имаме: $a_n(f) \le \frac \bigvee\limits_^(f)$. Подобен резултат може да се получи за $b_n$.