Изглаждане на шпонка

Изглаждащ сплайн(англ.smoothing spline) е метод за изглаждане (апроксимация на крива на набор от данни с шумен източник), използващ сплайнови функции.

Съдържание

Определение

Нека (x_i,Y_i);x_1 е последователността от наблюдения, генерирани от израза Y_i = \mu(x_i) . Изглаждащата сплайн апроксимация \hat\mu на функцията \mu се определя като функция (в класа на два пъти диференцируеми функции), която минимизира [1]

\sum_^n (Y_i - \hat\mu(x_i))^2 + \lambda \int_^ \hat\mu(x)^2 \,dx.

  1. \lambda \ge 0 изглаждащ параметър, който контролира връзката между точността на данните и "грапавостта" на функцията за напасване.
  2. интегралът се изчислява за целия диапазон x_i.
  3. с \lambda\до 0 (без изглаждане), изглаждащият сплайн се превръща в интерполиращ сплайн.
  4. с \lambda\to\infty (безкрайно изглаждане), наказанието за грапавост става доминиращо и апроксимацията се превръща в линейна апроксимация на най-малките квадрати.
  5. Второто наказание за грапавост, базирано на производни, се използва най-често в текущата статистическа литература, но методът може лесно да се адаптира за използване на наказания, базирани на други производни.
  6. в ранната литература, с равноотдалечени x_i, крайните разлики от втори и трети ред са използвани вместо производната за изчисляване на наказанието.
  7. ако сумата от квадратните отклонения на сплайн от оригиналните данни (първия член на функционала) се замени с логаритъм на функцията на вероятността, получавамеоценка на максималната вероятност с наказателна функция. При тази настройка обичайният изглаждащ сплайн е специален случай, при който вероятността се изчислява от нормалното разпределение на грешката.

Сплайн за изглаждане на изхода

За удобство разделяме търсенето на изрази, описващи изглаждащия сплайн на два етапа

  1. Първо, нека намерим стойностите \hat\mu(x_i);i=1,\ldots,n.
  2. От тези стойности намираме \hat\mu(x) за всичкиx.

Да започнем с втората стъпка.

Като се има предвид вектор \hat = (\hat\mu(x_1),\ldots,\hat\mu(x_n))^T от "напаснати" стойности, сумата от квадрати в критерия за сплайн е константа. Трябва само да минимизира \int \hat\mu(x)^2 \, dx и минимизирането е естествен кубичен сплайн, интерполиращ точките (x_i,\hat\mu(x_i)). Този интерполиращ сплайн е линеен оператор и може да бъде представен във формата:

където f_i(x) е набор от основни сплайн функции. В резултат на това наказанието за негладкост има формата

\int \hat\mu(x)^2 dx = \hat^T A \hat.където елементитеAса \int f_i(x) f_j(x)dx . Базисните функции и матрицатаAзависят от конфигурацията на независимите променливи x_i, но не и от Y_i или \hat m.

Сега, връщайки се към първата стъпка, претеглената сума на квадратите може да бъде записана като

\Y - \hat m\^2 + \lambda \hat^T A \hat m, където Y=(Y_1,\ldots,Y_n)^T . минимизирането над \hat m дава

\hat m = (I + \lambda A)^ Y.

Създаване на многомерни сплайни

От даденото ограничение на формулата от дефиницията на x_1 можем да заключим, че алгоритъмът не работи за произволен набор от данни. Ако планирате да използвате алгоритъма за произволен набор от точки в многомерно пространство, имате нужда от алгоритъм, който няма такива ограничения. Възможно решение е да се въведе параметър по такъв начин, че входните данни да могат да бъдат представени като едномерни функции в зависимост от дадения параметър; след това можете да приложите изглаждане за всяка функция. В 2Dв пространството решението се състои в параметризиране на x и y като x(t) и y(t), където t_1. Подходящо решение за t е натрупаното разстояние t_=t_+\sqrt-x_)^2+(y_-y_)^2> където t_1=0. [2] [3]

По-подробен анализ на параметризацията е направен от E.T.Y Lee. [4]

Свързани методи

Изглаждащите сплайнове са свързани с, но различни от:

  • регресионни сплайнове. При този метод данните се апроксимират чрез набор от базисни сплайн функции с намален брой възли, обикновено чрез най-малки квадрати. Наказания за негладкост не се използват.
  • Наказани сплайни. Комбинирайте намален брой възли на регресионен сплайн с наказание за негладки изглаждащи сплайнове. [5]
  • Метод на еластична карта. Този метод комбинира неустойките на най-малките квадрати за грешката на приближаване с неустойките за кривината и разтягането на набора за прилягане и използва груба стъпка на вземане на проби за оптимизиране на проблема.

Източник

Изходният код за изглаждане на сплайни може да бъде взет от примерите вПрактическо ръководство за сплайнина Carl de Boor. Примерите са написани на Fortran. Актуализираните изходни кодове също са налични на официалния уебсайт на Carl de Boor [pages.cs.wisc.edu/

Напишете отзив за статията "Изглаждане на сплайн"

Бележки

Литература

  • Wahba, G. (1990).Сплайн модели за данни от наблюдения. СИАМ, Филаделфия.
  • Green, P.J. и Silverman, B.W. (1994).Непараметрична регресия и обобщени линейни модели. C.R.C. Press.
  • De Boor, C. (2001).Практичен Gu >
Дефиниции

: Невалидно или липсващо изображение

Желателно ли е да се подобри тази статия? :
  • Уикифицирайте библиографията.

Откъс, характеризиращ изглаждащия сплайн

Лицето на принцесата се промени. Тя въздъхна. „Да, вероятно“, каза тя. – Ах! Това е много страшно... Гъбата на Лиза потъна. Тя приближи лицето си до това на снаха си и изведнъж отново избухна в плач. - Тя трябва да си почине - каза княз Андрей с гримаса. Нали, Лиза? Заведи я при себе си, а аз ще отида при бащата. Какъв е той, все същият? – Същото, същото; Не знам за твоите очи - радостно отговори принцесата. - И същите часове, и разходки по алеите? Машина? — попита княз Андрей с едва забележима усмивка, показвайки, че въпреки цялата си любов и уважение към баща си, той разбира слабостите му. - Същият часовник и машина, все още математика и моите уроци по геометрия - отговори принцеса Мери радостно, сякаш нейните уроци по геометрия бяха едно от най-радостните впечатления в живота й. Когато изтекоха двадесетте минути, необходими на стария княз да стане, Тихон дойде да повика младия княз при баща му. Старецът направи изключение в начина си на живот в чест на пристигането на сина си: той нареди да го пуснат в своята половина, докато се обличаше преди вечеря. Принцът ходеше по стария начин, в кафтан и пудра. И докато принц Андрей (не с онова мрачно изражение и маниери, които си поставяше в хола, а с онова оживено лице, което имаше, когато разговаряше с Пиер) влизаше при баща си, старецът седеше в съблекалнята на широко, тапицирано с мароко кресло, в пудра, оставяйки главата си в ръцете на Тихон. - Ах! Войн! Искате ли да завладеете Бонапарт? - каза старецът и поклати напудрената си глава, доколкото позволяваше сплетената плитка, която беше в ръцете на Тихон. - Поне го приеми добре за него, иначе скоро ще ни запише като свои поданици. - Страхотен! И той издаде бузата си. Старецбеше в добро настроение след дрямка. (Той каза, че след вечеря сребърен сън, а преди вечеря златен.) Радостно погледна косо сина си изпод дебелите надвиснали вежди. Принц Андрей се приближи и целуна баща си на посоченото от него място. Той не отговори на любимата тема за разговор на баща си - закачките с настоящите военни и особено с Бонапарт. - Да, дойдох при вас, татко, и то с бременна жена - каза княз Андрей, следейки с оживени и почтителни очи движението на всяка черта на лицето на баща си. - Как си със здравето? - Нездравословен, братко, има само глупаци и блудници, а ти ме познаваш: от сутрин до вечер зает, умерен, добре, здрав. – Слава Богу – каза синът усмихнат. – Бог няма нищо общо с това. Е, кажи ми — продължи той, връщайки се към любимия си кон, — как германците са те научили да се биеш с Бонапарт според твоята нова наука, наречена стратегия. Принц Андрей се усмихна. „Оставете ме да се опомня, татко“, каза той с усмивка, която показваше, че слабостите на баща му не му пречат да го уважава и обича. „Защото още не съм се настанил. - Лъжеш, лъжеш - извика старецът, като разклати косичката си, за да пробва дали е стегнато сплетена, и хвана сина си за ръката. Къщата за жена ви е готова. Принцеса Мария ще я доведе и ще й покаже и ще говори от три кутии. Това е работа на майка им. Радвам се за нея. Седни и разкажи. Армията на Михелсон разбирам, на Толстой също... еднократен десант... Какво ще прави южната армия? България, неутралитет… това го знам. Австрия какво? - каза той, като стана от стола си и тръгна из стаята, а Тихон тичаше наоколо и раздаваше парчета дрехи. Швеция какво? Как ще се пресича Померания? Принц Андрей, виждайки спешността на искането на баща си, отначало неохотно, но след това все по-оживено и неволно, по средата на историята, по навик,преминавайки от български на френски, той започва да очертава оперативния план на предложената кампания. Той разказва как една 90 000 армия трябва да заплашва България, за да я извади от неутралитет и да я въвлече във войната, как част от тези войски трябва да се свържат с шведските войски в Щралзунд, как 220 000 австрийци, заедно със сто хиляди българи, ще действат в Италия и на Рейн и как 50 000 българи и 50 000 англичани ще десантират в Неапол и как в резултат на това армия от 500 000 души ще трябва да бъде от различни страни, за да атакува французите. Старият княз не прояви ни най-малък интерес към разказа, сякаш не го беше слушал, и като продължаваше да се облича, докато вървеше, неочаквано го прекъсна три пъти. Веднъж го спря и извика: - Бял! бяло! Това означаваше, че Тихон не му даваше жилетката, която искаше. Друг път спря и попита: - И скоро ще ражда? - и като поклати укоризнено глава, каза: - Не е добре! Давай, давай. Третият път, когато княз Андрей завърши описанието, старецът запя с фалшив и старчески глас: „Malbroug s'en va t en guerre. Dieu sait guand revendra. [Малбрук тръгва на кампания. Бог знае кога ще се върне.] Синът само се усмихна. - Не казвам, че това е план, който одобрявам - каза синът, - просто ти казах какво е. Наполеон вече беше начертал плана си не по-лош от този. – Е, не си ми казал нищо ново. - И старецът замислено си каза бързо: - Dieu sait quand revendra. - Отиди в трапезарията.

В уречения час, напудрен и обръснат, принцът влезе в трапезарията, където снаха му, принцеса Мария, m lle Bourien и архитектът на принца, на които по странна негова прищявка беше позволено да ядат, въпреки че според длъжността мутози незначителен човек не можеше да разчита на такава чест. Князът, който твърдо се придържаше към разликата в съдбата в живота и рядко допускаше дори важни провинциални служители на масата, внезапно доказа на архитекта Михаил Иванович, издухвайки носа си в карирана носна кърпа в ъгъла, че всички хора са равни, и повече от веднъж вдъхнови дъщеря си, че Михаил Иванович по никакъв начин не е по-лош от вас и мен. На масата князът най-често се обръщаше към немия Михаил Иванович.