Изследване на квадратен трином
Квадратният трином е основната функция на училищната математика - между другото, не най-примитивната. Способността да се използват предоставените от него ресурси за решаване на проблеми до голяма степен характеризира нивото на математическото мислене на ученик по училищна алгебра. В тази статия ние обосноваваме тази теза и даваме примери за конкретно приложение на свойствата на квадратична функция. Стимулиращият фактор е фактът, че при решаването на всяка задача с параметри рано или късно е необходимо (и успява) да се преформулира задачата по отношение на квадратен трином и да се реши, като се използват свойствата на тази универсална функция.
Изследване на квадратен трином
Определение.Квадратният триномпо отношение на променливата xе израз на формата f(x) = ax 2 + bx + c (1), където a, b, cR, a0.
Графиката на тринома (1) е парабола; когато 0 - нагоре. Местоположението на параболата спрямо оста Ox зависи от стойността на дискриминанта D = b 2 - 4ac: за D> 0 има две точки на пресичане на параболата с оста Ox (два различни реални корена на тринома); при D=0 - една точка (двоен реален корен); при D 0 - над оста Ox). Стандартният трик е следното представяне на тринома (използвайки пълен квадратен избор):
f(x) = ax 2 + bx + c = = . Това представяне улеснява изграждането на графика чрез линейни трансформации на графиката на функцията y=x 2 ; координати на върха на парабола: .
Същата трансформация дава възможност незабавно да се реши най-простият проблем с екстремума: да се намери най-голямата (за 0) стойност на функция (1); екстремната стойност се достига в точката и е равна на .
Едно от основните съждения относно квадратния трином -
Теорема 1 (Виета). Ако x1, x2 са корените на тричлена (1), тогава
(Формули на Виета).
С помощта на теоремата на Vieta могат да бъдат решени много проблеми, по-специално тези, в които се изисква да се формулират условия, които определят знаците на корените. Следващите две теореми са преки следствия от теоремата на Виета.
Теорема 2. За да бъдат корените на квадратния трином (1) реални и да имат еднакви знаци, е необходимо и достатъчно да са изпълнени следните условия:
D = b 2 - 4ac 0, x1x2 = > 0,
и двата корена са положителни за x1 + x2 = > 0,
и двата корена са отрицателни за x1 + x2 = 2 - 4ac > 0, x1x2 = 0,
и отрицателният корен има по-голям модул, когато x1 + x2 = 0, x1 + x2 2>gt; 0, M > (x1 + x2)/2. Според формулите на Виета, следователно, или и т.н.
Достатъчност. Позволявам . Ние се противопоставяме на противното. Да предположим, че , , тогава е противоречие с условието. Ако , то (x1 - M)(x2 - M)0, x1x2 - (x1 + x2)M + M 2 0, откъдето , af(M) 0 отново е противоречие с условието; остава само възможността x1 M, тогава (x1 - M)(x2 - M) 2 2 0, откъдето , af(M)0 е противоречие с условието; остава единствената възможност, която трябва да се докаже. Теоремата е доказана.
Теорема 6. За да могат двата корена на квадратния трином (1) да бъдат по-големи от числото M, т.е. на реалната права корените да лежат вдясно от точка M, е необходимо и достатъчно да са изпълнени следните условия:
, или чрез комбиниране на условията,
Доказателство.Необходимост. Ако триномът (1) има (евентуално еднакви) реални корени x1 и x2, x1 x2 и x1 > М, х2 > M , тогава , (x1-M)(x2-M)>0, x1 + x2 > 2M; в противен случай x1x2 - (x1 + x2)M + M2 > 0, M 2 0, откъдето , af(M) 0 - отново противоречие с условието; само възможността x1 > М, х2 > М, което подлежи на доказване. Теоремата е доказана.
Следствие 1. За да могат двата корена на квадратния трином (1) да бъдат по-големи от числото M, но по-малки от числото N (M