КОНЦЕПЦИЯ МАТРИЦА
Матриците се използват за представяне на числови данни във форма, удобна за обработка на матрици. Едно от предимствата на матричната нотация е, че много математически операции са "компресирани" в малък набор от знаци. Поради това матричната форма на запис е изключително удобна при анализ на данни, а необходимостта от това възниква все повече във връзка с разпространението на количествените методи на изследване в икономическата теория и бизнеса. Матричната нотация е полезна, когато трябва да прибягвате до математически методи на изследване, улеснява организирането на необходимите изчисления и разбирането на значението на тези операции. Икономистът и мениджърът на съвременния етап не може без матрици и матрична алгебра.
Пример 1: Starling Manager предоставя таблица за по-голяма яснота на крайните резултати:
Средни цени на дребно за автомобили Таблица 1.
в зависимост от експлоатационния им живот (хиляда рубли)
| Продължителност на службата (години) | години |
Можете да извлечете от таблицата поредицата от числа, дадена в нея, и да я запишете във формата:,
където значимата стойност на всеки индикатор се определя от мястото му в този масив. Числата в реда характеризират цените на автомобилите с един и същи период на експлоатация, а в колоната - цените на автомобилите с различен експлоатационен живот през дадена година.
Например, числото 160 в третия ред и втората колона представлява цената на 3-годишна кола през 2005 г. Числата, изписани в един ред, характеризират цените на автомобили, които са прослужили един и същ период през различните години, а числата в колоната са цените на автомобили с различен експлоатационен живот през дадена година.
За да се покаже, че дадения масив е матрица, той е ограден в квадратскоби , или скоби , или двойни вертикали .
Всяко число в масива се наричаматричен елемент.Матричната алгебра или матричната алгебра изучава алгебрични операции върху числови масиви.
Матрицата, като масив от числа, може да се разглежда като независимо цяло, така че можете да я наречетеA, например:
или .
След като са изчерпани всички букви от a до z, могат да бъдат обозначени само 26 елемента.
.
Той се чете "а - едно", "а - две", "а - три". Числата 1, 2, 3 се наричат индекси, които показват номера на колоната. Всички елементи от една колона имат общ индекс, което не е удобно на практика.
Обикновено на практика за обозначаване на елементи се използват една буква от азбуката и два индекса, написани един до друг, първият от които означава ред, а вторият обозначава колона, към която принадлежи даден матричен елемент.
МатрицатаAможе да бъде записана като .
Елементите се четат "едно, едно", "едно, две", "едно, три" и т.н. Така индексите на елементите еднозначно определят мястото, което заемат в матрицата. Елементътие вi-ти ред иj-та колона, т.е. в пресечната точка наi-тия ред наj-та колона. Когато е необходимо, между индексите се поставя запетая.
Напримерие елементът в пресечната точка на 4-ти ред и 13-та колона. Той гласи "aчетири, тринадесет".
Възможни са обозначения на елементи, например първият ред в следната форма сj=1,2,3. Колоните могат да бъдат написани по същия начин. За да се обозначи цялата матрица,иса оградени във къдрави скоби при i=1,2,3 и j=1,2
Това обозначение напълно характеризира елементите на матрицата. Като цяло, за i=1,2,…,m и j=1,2,…,n.
По този начин,матрица е правоъгълна таблица с числа, съдържащаm-редове иn-колони. Написва се матрицата в общ вид
A= ,
МатрицатаAсе нарича матрицас размер m n и се пишеA. Числаaij-матрични елементи.
МАТРИЧНА КЛАСИФИКАЦИЯ.
Има няколко различни обозначения за операциите за сумиране:
; .
Сумиране върхуiсj=2: .
Сумиране върхуjсi=4:.
Често има нужда от "двойно добавяне".
.
При двойното сумиране редът на записване на термините не е значим, т.е. .
И двете величини са равни на общата сума на всички елементи на матрицата.
Ако броят на редовете в матрицата е равен на броя на колоните (m=n), тогава такава матрица се наричаквадратна.
А=- квадратна матрица от 2-ри ред
А броят на неговите редове или колони се наричаред на матрицата.Елементите, стоящи на диагонала, идващи от горния ляв ъгъл, образуватглавния диагонал.
1. Трябва да се има предвид, че всяка буква от азбуката може да служи като индекс.
2. .
3.ijти елемент от матрицата.
4. размерът на матрицата (редът на матрицата, ако е квадратна).
5. - водещият елемент на матрицата.
са диагоналните елементи на матрицата.
Сумата от диагоналните елементи на квадратна матрица се наричаследа на матрицата и се означава с .
За квадратна матрица се казва, че етриъгълна, ако всички елементи от една и съща страна на главния диагонал са нула.
Квадратна матрица, всички елементи на която под диагонала са равни на нула, се наричагорнатриъгълна матрица, а над диагонала -долна триъгълна.
- горна триъгълна, - долна триъгълна матрица.
За матриците се казва, че саравни на, ако са с еднакъв размер (т.е. имат еднакъв брой редове и еднакъв брой колони) и съответните им елементи са равни, т.е.A=Bакоаij=bij.
Квадратна матрица, в която всички елементи, с изключение на елементите на главния диагонал, са равни на нула, се наричадиагонал.
е диагонална матрица.
Диагонална матрица, в която всеки елемент от главния диагонал е равен на единица, се наричаидентичност. Тя се обозначава с букватаE. En n= -единична матрицаn-ти ред.
Матрица, всички елементи на която са равни на нула, се наричанула. Означава се с букватаO.
Матрица, съдържаща една колона или един ред, се нарича съответно колонна матрица или матрица ред. Написано във формата
A= , B=.
С това число се идентифицира матрица с размер 1 1, състояща се от едно число, т.е. (2) имам 2.
Матрица, получена от дадена чрез заместване на всеки от нейните редове с колона със същия номер, се нарича матрицатранспонирана към дадената. Означено катоA T.
Матрица, чиито елементи са симетрични спрямо главния диагонал, се нарича симетрична.