Кралството на слоестите огледала, SavePearlHarbor
Още едно копие на пристанището
Царството на многослойните огледала
Днес ще се запознаем с многослойните огледала. Ще разберем защо са необходими и как се моделират с помощта на метода на трансферната матрица.
Какво не е наред с обикновените огледала?
Обикновеното огледало за баня (и неговите по-добри копия) не е нищо повече от тънък гладък метален филм. При отражение от него около пет процента от светлината се губи. Понякога това е критично - да речем, в телекомуникациите (колкото по-малко сигнал губим, толкова по-малко междинни усилватели трябва да се инсталират) или при сложна оптика като перископи (ако загубите 5% на всяко огледало, много, много малко ще достигне до наблюдателя). От друга страна, поглъщането на светлина от огледалото го кара да се нагрява. И ако 5% от лазерната показалка е нещо ефимерно, тогава 5% от промишления лазер за рязане е около ват, който може забележимо да загрее тънък филм. Нещата са още по-интересни при импулсните лазери, където пиковата мощност е достатъчна, за да разтопи огледалото. Приблизително така:
Малко физика
Вероятно мнозина са чували за просветлението на оптиката. Това е сложно покритие на лещите, което намалява отражението от предната им повърхност почти до нула. Тоест светлината няма да се изразходва за отражение, а напълно ще влезе в оптичната система. Физически това се случва порадиразрушителна интерференцияот различни слоеве на антирефлексното покритие.
Същата идея може да се използва и в обратната посока: така че отражението да не се отслабва, а по-скоро да се засили. Ще ни трябва пластова торта, направена от два различни материала, всеки с дебелина една четвърт дължина на вълната. Във всяка от кръстовищата на двата материала част от светлината се отразява обратно.Ако всички отражения, които излизат, имат една и съща фаза, ще възникнеконструктивна интерференцияи отразеният сигнал ще има максималния възможен интензитет.
Такава "пластова торта" се наричадиелектрично огледало,многослойно огледалоилиразпределен рефлектор на Браг(на английскиdistributed Braggreflect,DBR). Той е „разпределен“, защото отражението не се случва на една повърхност, а на няколко наведнъж. Коефициентът на отражение може лесно да достигне 99,99%, което означава, че в сравнение с металните огледала загубите са намалени с 2-3 порядъка.
Малко математика
Нека разгледаме по-подробно схемата за отражение. Падащият лъч се отразява обратно на всяка от границите на двете среди. Вярно е, че всеки отразен лъч се отразява и върху всяка от границите, които преминава на връщане - вече в другата посока. Всеки от тези лъчи се отразява отново ... по дяволите, как да ги преброя всичките?
На помощ идва методъттрансферни матрици. Същността му е, че спираме да следваме всеки лъч поотделно и гледаме само резултата от тяхното добавяне. Тоест задаваме вектор, който описва вълната във всяка точка. Най-общо казано, във всяка точка има две вълни: едната се разпространява надясно (да я наречемE R), втората се разпространява наляво (E L). Тогава нашият вектор има два елемента, при това сложни: в крайна сметка ние се интересуваме както от амплитудата на светлината (модулчисла), така и от нейната фаза (съответнофазачисла).
За всеки две точки векторите ще бъдат свързани с някакъв линеен израз, който отчита разпространението на светлината през средата и през границите на двете среди. Можете да напишете този израз с помощта на матрици. По принцип ни трябват две матрици. Първо(да го наречем M1) свързва векторите отляво и отдясно на интерфейса. Вторият (M2) описва разпространението на вълната в хомогенна среда (между границите).
където n1 и n2 са показателите на пречупване на двете среди. Ако светлината падаше само отдясно (E2 L ), щяхме да имаме, респ
Комбинирайки изразите, получаваме
Matrix M2 изглежда много по-опростен. Тъй като лъчите, летящи наляво и надясно, не взаимодействат, матрицата е диагонална. Амплитудата на светлината не се променя, което означава, че модулът на матричните елементи е равен на 1. Променя се само фазата: за лъча, летящ надясно, тя се увеличава, за лъча, летящ наляво, намалява (знак минус в експонентата). Оказва се
където L е дебелината на слоя, ламбда е дължината на вълната.
Като комбинираме M1 и M2, можем да свържем два вектора във всяка точка на пространството. Например между точки A и B на фигурата по-долу връзката ще бъде както следва:
Тоест просто умножаваме матриците подред за всичко, през което минава светлината (минава отляво надясно): - границата на въздуха и 1 слой (вход към огледалото) - разпространение в първия слой - граница на 1-2 слоя - разпространение във втория слой - граница на 2-3 слоя и така до излизане от огледалото. И получаваме една матрица 2x2, която описва цялото огледало наведнъж!
Не случайно избрах точките от двете страни на огледалото. В точка А горният компонент на вектора (който лети надясно) е вълната, която изпращаме към огледалото. Долният компонент е отражението, което искаме да изчислим. В точка B (непосредствено зад огледалото) горният компонент е предаването на огледалото, а долният компонент е нула, защото нищо не пада върху огледалото от задната страна. Резултатът е елементарно матрично уравнение
където r и t са съответно отражение и предаване. Следователно, като не забравяме, че интензивността еквадрат на амплитудата, получаваме отражението
В заключение имайте предвид, че за други дължини на вълната слоевете ще имат дебелина, различна от една четвърт от дължината на вълната, така че коефициентът на отражение може да се промени. За да разберете в кой спектрален диапазон ще отразява огледалото, ще трябва да повторите изчислението за различни дължини на вълната.
Код и малко оптимизация
Кодът е прав. За всяка дължина на вълната трябва да изчислите M1 и M2 и след това да ги умножите необходимия брой пъти. Тъй като резултатите за различните дължини на вълните са независими, изчисленията са добре паралелизирани на многоядрени процесори. Кодът, върху който са разгледани примерите по-долу, е написан на MATLAB. Ще спомена няколко тънкости.
1. M1 и M2 за различни дължини на вълните се различават поради различни показатели на пречупване (това се нарича думатадисперсия). Обикновено стойностите на индексите на пречупване са таблични и се променят доста гладко, така че те са добре интерполирани от полинома.
Проблемът възниква, ако, започвайки от определена дължина на вълната, материалът започне да абсорбира светлина (да кажем, че така се държат полупроводниците). Обикновено за дължината на вълната, при която започва абсорбцията, изобщо няма добри таблични данни; и има празнина между стойностите отляво и отдясно на него. В този случай областите отляво и отдясно на „лошата“ точка се интерполират отделно, а самата точка се игнорира.
2. Ако огледалото се състои от N двойки слоеве, тогава вместо да изчислявате M1 и M2 за всеки слой, можете да ги изчислите веднъж за двойка слоеве и след това да ги умножите N пъти в желания ред. С други думи, първо изчислете трансферната матрица за двойка слоеве и след това я повдигнете на N-та степен.Полиномите на Чебишевмогат да помогнат много с това.
,
са полиноми на Чебишев от втори род.
Интересни резултати
1.Типичен спектъротражения.Прост пример е огледало, направено от редуващи се слоеве TiO2 и SiO2, всеки 10 пъти. Отражението достига своя максимум в определен диапазон: на снимката - от 420 до 600 nm, тоест нашето огледало работи в синьо-зелената област. Извън работния диапазон отражението скача от нула до малки стойности; в тези области огледалото всъщност изобщо не е огледало, а просто безполезно парче стъкло. При максимум отражението е приблизително 99,97%.
2.Повече слоеве - по-добро отражение.Между другото, обичайно е да се броят не слоевете, а техните двойки. На снимката по-долу червеният спектър е 5 двойки TiO2/SiO2, синият спектър е 10 двойки. На практика не използвайте твърде много чифтове, защото това увеличава времето за производство. Приблизителни бройки - 5-7 двойки за огледала в конвенционални лазерни диоди и фибро лазери; 20-30 за много специфични приложения като квантовата оптика.
3.Контрастили разликата в показателите на пречупване на два материала. Колкото по-голям е, толкова по-малко чифтове са необходими за огледало със същото качество. На снимката по-долу спектрите на огледала от 10 двойки TiO2/SiO2 (синьо) и ZrO/SiO2 (люляк). При последното разликата в коефициентите на пречупване е по-малка, така че максималното отражение е 99,24% (срещу 99,97% за TiO2/SiO2) – с други думи, загубите в огледалото ZrO/SiO2 са 25 пъти по-големи.
4.Прецизна изработка.Слоевете са изключително тънки (0,1-0,2 микрона), като малките отклонения влияят значително на качеството. За възпроизводимостта на спектъра е изключително важно да се следи не дебелината на всеки слой, а дебелината на двойката. Нека да видим какво се случва с нашето огледало от 10 двойки TiO2/SiO2 (син спектър) с различни производствени грешки. Ако всички слоеве от един материал са с 10% по-дебели, а вторият - с 10% по-тънък (зелен), тогава дебелината на двойката ще остане непроменена и качеството на огледалото ще се промени доста леко. INВ същото време отклонение само на един слой с 5% променя дебелината на двойката и забележимо измества спектъра (червена крива).
Къде е необходимо
Разбира се, на първо място, методът на трансферните матрици е необходим на съответната научноизследователска и развойна дейност. Лазерните диоди, фибролазерите, огледалата (от терахерцови до меки рентгенови лъчи), теснолентовите филтри и дори оптичните покрития се считат само за тях.
Освен това видяхме, че интерференцията е много чувствителна към дебелината на слоевете. По принцип, ако знаем приблизително състава на определена слоеста структура, можем да определим дебелината на нейните слоеве с точност от порядъка на нанометър. За да направите това, е необходимо да измерите неговия спектър на отражение и да го коригирате чрез промяна на дебелината на слоя в алгоритъма. Получава се такава система за обратно инженерство на слоести структури. Освен това цената му е с порядъци по-ниска от цената на електронен микроскоп със същата резолюция.
Това води до друго приложение – обратната връзка при производството на огледала. Спектърът на отражение на произведеното огледало може лесно да бъде измерен и сравнен с теоретичния. Ако разликите са значителни, симулацията може да покаже какво точно се е объркало в процеса. Освен това обратната връзка може да бъде получена в реално време по време на производствения процес: електрическа крушка свети върху напръсканото огледало и измереният спектър на отражение се показва на екрана.
Какво следва
Формулите по-горе описват нормално отражение (т.е. перпендикулярно на огледалото). В действителност често се нуждаете от огледала, които отразяват под ъгъл. За такива изчисления алгоритъмът става малко по-сложен: трябва да добавите още един цикъл за различни стойности на ъглите.
Малко по-трудно е да се изчисли вдлъбнато или изпъкнало огледало: трябва да разгледате отделно различни части от повърхността. Обикновено в такава ситуация трябва да се жертва нещо: спектър, ъгли на отражение, поляризационни свойства.Тази задача често се поверява на генетичен алгоритъм, настроен да максимизира необходимите параметри. Да кажем, че можете да направите огледало, което отразява светлината от всички ъгли, но спектърът и качеството няма да са най-добрите. Или направете огледало с отражение около 99,999% - но само за една дължина на вълната и под един ъгъл.
Малък плюс е, че не е необходимо да се използва периодична структура: дебелината на слоевете може да варира както желаете (такова огледало се наричаапериодично). Можете да променяте дузина дебелини наведнъж - какво пространство за генетичен алгоритъм! Така се изчисляват огледалата за рентгенова литография, която се използва в съвременните технически процеси в микроелектрониката.
М. Борн, Е. Волф "Основи на оптиката". Във форума dxdy има добра статия за полиномите на Чебишев. Снимки: KDPV, 1, 2, 3.