Лагранжиан - определение на думата
Лагранж, функцията на Лагранж на динамична система, наречена на Джоузеф Лагранж, е функция на динамични променливи и описва уравненията на движението на системата. Уравненията на движението при този подход се извличат от принципа на най-малкото действие, записан като
където действието е функционал
обозначава набор от системни параметри.
Уравненията на движението, получени с помощта на функционалната производна, са идентични с обичайните уравнения на Ойлер-Лагранж. Динамичните системи, чиито уравнения на движение могат да бъдат получени чрез принципа на най-малкото действие за удобно избрана функция на Лагранж, са известни като динамични системи на Лагранж. Има много примери за лагранжеви динамични системи, като се започне от класическата версия на Стандартния модел във физиката на елементарните частици и се стигне до уравненията на Нютон в класическата механика. Те също така включват чисто математически проблеми като геодезическите уравнения и проблема на платото. Пример от класическата механика Концепцията за функцията на Лагранж първоначално е въведена, за да преформулира класическата механика във форма, известна като Лагранжева механика. В този контекст функцията на Лагранж обикновено се приема като разлика между кинетичната и потенциалната енергия на механична система.
Нека размерността на пространството е равна на три и функцията на Лагранж е записана във формата
където производната по време е означена с точка над диференцируемата величина, е радиус векторът на частицата, m е нейната маса и V е потенциалната енергия. Тогава уравнението на Ойлер-Лагранж ще бъде: , където е градиентът.
Използвайки този резултат, човек може лесно да покаже, че този подход е еквивалентен на този на Нютон. Записваме силата F по отношение на потенциала, след което получаваме уравнението, което е подобно на уравнението на Нютон с постоянна маса. простоизчисленията ще ни доведат до израза , който е вторият закон на Нютон в неговата обобщена форма.
За тримерна система със сферични координати r, , с лагранжиан
могат да бъдат получени следните уравнения на Ойлер-Лагранж: Лагранжиани и плътности на Лагранжиан в теорията на полето В теорията на полето се прави разлика между Лагранжиан L , чието действие е дадено от времевия интеграл
и плътността на Лагранж, която трябва да бъде интегрирана в цялото фазово пространство:
Тогава лагранжианът е интеграл върху пространствени променливи на плътността на лагранжиана. Съвсем наскоро, обаче, плътността на лагранжиана често се нарича просто лагранжиан; това е полезно в релативистките теории, тъй като е локално дефинирано. И двете дефиниции на лагранжиана могат да бъдат получени в специални случаи на общата дефиниция, в зависимост от това дали пространствените променливи са включени в индекса i или в s параметрите в . Квантовите теории на полето във физиката на елементарните частици, като например квантовата електродинамика, обикновено се описват от гледна точка на . Тази форма е удобна, тъй като бързо се превръща в правилата, използвани за оценка на диаграмите на Файнман. Електромагнитен лагранжиан В общия случай лагранжианът в лагранжианската механика е равен на
където T е кинетичната енергия, а V е потенциалната енергия. За заредена частица с маса m, заряд q и скорост v, намираща се в електромагнитно поле със скаларен потенциал и векторен потенциал A, кинетичната енергия се дава от
и потенциалната енергия:
където c е скоростта на светлината. Тогава електромагнитният лагранжиан ще бъде записан във формата лагранжиан на квантовата теория на полето лагранжиан на квантовата електродинамика
Lagrangian плътност за QED
където е биспинорът, е неговото спрежение по Дирак, F е тензорътелектромагнитно поле, D е калибровъчната ковариантна производна и е нотацията на Файнман за D . Лагранжиан на Дирак
Плътност на лагранжиана за полето на Дирак Лагранжиан на квантовата хромодинамика
Плътност на Лагранж за квантовата хромодинамика [1] [2] [3]
където D е калибърната ковариантна производна на QCD и F е тензорът на силата на глуонното поле.