Лекции по алгебра Алгебрата се нарича комутативна
За една алгебра се казва, че е комутативна, ако xy = yx за всяко X и y от алгебрата. За една алгебра се казва, че е антикомутативна, ако квадратът на някой от нейните елементи е равен на нула. В този случай, за всеки X a y k3 от алгебрата, връзката xy = -yx е вярна, тъй като
0 == (x + y) (x + y) = x2 + yx + xy + y2 = yx + xy.
Една алгебра се нарича алгебра на Лие, ако е антикомутативна и всеки три нейни елемента удовлетворяват отношението на Якоби:
x(yz) + y(zx) + z(xy) = 0.
Сред алгебрите, които се срещат в приложенията, алгебрите на Лие играят специална роля. По-специално, те са тясно свързани с групите на Лъжата.
Всяка асоциативна алгебра може да бъде "трансформирана" в алгебра на Лие чрез въвеждане на ново "умножение" o като X o y = xy - yx. Ясно е, че X o X =» 0 за всяко x. Отношението на Якоби се проверява лесно:
xo(yoZ) + yo (z°x)+Zo (x°y) = x(yz - zy) - (yz - zy)x +
+ y (zx - xz) - (zx - xz)y -J- z (xy - yx) -
Алгебра (не непременно асоциативна) се нарича алгебра с разделяне, ако уравнението xy = z е разрешимо по отношение на x, дадени y φ 0 и z. С други думи, алгебрите с деление се характеризират с факта, че всички оператори на дясно умножение, с изключение на нула, са неизродени. В алгебрите с деление уравнението xy = z с y Φ 0 е еднозначно разрешимо по отношение на x, тъй като неизроденият оператор има нулево ядро. По-специално, от равенството xy=0 следва, че за y φ 0 X = 0 и че X=J^O е възможно само за y = 0. Но това означава, че всеки оператор на ляво умножение, с изключение на умножението по 0, има нулево ядро и следователно е неизроден. Следователно всяко уравнение xy = z за x φ 0 е разрешимо по отношение на y.
Лесно се вижда, че няма алгебри за деление над полето C, с изключение на самото JC. Наистина, ако размерността n на алгебра с делениепо-голямо от 1, то съдържа два линейно независими елемента X и y. Разгледайте съответните оператори за дясно умножение Six и &1Y и техните матрици Rx и Ry в някакъв базис. Поради неизродеността на операторите за дясно умножение det Rx Ф 0 и det Ry Ф0. Да разгледаме елемента x-\-ty с t є= .С Операторът на дясно умножение по него е Rx + tRy. Неговият детерминант det(Rx+tRy) = detRx-T- ¦¦• +f"det/?j, е полином от степен n в t, следователно той изчезва при някаква стойност на t. Това е невъзможно в алгебрата с деление, защото x + ty 4 0, и следователно операторът Six + Shu трябва да е неизроден. Що се отнася до алгебрите с размерност 1, лесно е да се види, че има само две от тях, до изоморфизъм - нулево умножение (т.е. алгебра, в която произведението на всеки два елемента е равно на 0) и C. Има алгебри с деление върху поле от реални числа, по-специално поле C. Ще се запознаем с важна алгебра с размерност 4 в следващия раздел.
4. Идеали на алгебрата. Десният идеал на алгебрата A е подпространство / такова, че за всяко y єn /, x є A ще има yх єе /. С други думи, десният идеал на една алгебра е подпространство, което е инвариантно за всички оператори за дясно умножение. Левият идеал на алгебра се определя по подобен начин. Подпространство, което е десен идеал и ляв идеал едновременно, се нарича двустранен идеал. Ясно е, че в комутативна или антикомутативна алгебра всички идеали са двустранни.
Двустранните идеали играят същата роля в теорията на алгебрите като нормалните подгрупи в теорията на групите: те и само те са ядрата на хомоморфизмите на алгебрата. Хомоморфизъм или хомоморфно преобразуване на алгебра A в алгебра B е линейно преобразуване cp: A - B, което запазва умножението, т.е. такова, че φ(xy) = φ(x) φ(y).
Лесновижте, че ядрото / на всеки хомоморфизъм ф на алгебрата А е двустранен идеал. Наистина, ако y єn Y, тогава y (y) \u003d 0, но тогава y (xy) \u003d φ (x) φ («) = 0 и Предишни 158 159 160 161 162 163 .. 168 >> Следващ