ПОЗНАЙ ИНТУИТА, Лекция,Контрапример
Интуиционистична пропозиционална логика
Нека изключим от броя на аксиомите закона за изключената среда. Полученото смятане се нарича интуиционистично пропозиционално смятане. (Обикновеното пропозиционално смятане се нарича класическо, за да се избегне объркване в сравнение с интуиционисткото. Като цяло, математическите разсъждения, базирани на аксиомата за изключената среда, се наричат „класически“, а тези, които го избягват, се наричат „интуиционистки“.)
Разбира се, веднага възникват естествени въпроси. Защо тази аксиома е съмнителна? Всъщност има много аксиоми и може да се изключи някоя и да се види какво ще стане и без нея - но е ясно, че най-вероятно ще се получи нещо странно. Как да разберем кои формули ще останат теореми без закона за изключената среда? Преди пропозиционалното смятане имаше "супер задача" - да изведе всички тавтологии и само тях, а сега?
Какво имаме предвид (или трябва да имаме предвид), когато казваме, че сме установили това „или“? Това означава, според Брауер, че или сме инсталирали , или сме инсталирали . Когато зададем това " и ", това означава, че сме задали и двете, и . „Ако, тогава“ означава, че имаме някакво общо разсъждение, което ще ни позволи да зададем, веднага щом някой ни зададе. Отрицанието означава, че имаме разсъждение, което води до противоречие на предположението, което е установено. (Както от гледна точка на интуитивизма, така и от класическа гледна точка, във всички смисли това е еквивалентно на , където е съзнателно невярно твърдение. Би било възможно изобщо да не се използват отрицания, но да има константа - това не е много често, но технически удобно.)
Интуиционизмът отхвърля идеята, че всички твърдения се делят на верни и неверни (макар и по непознат за нас начин). От тази гледна точка законътизключеното трето е напълно неоснователно: това означава, че за произволно твърдение можем да установим или , или неговото отрицание (тоест да обясним защо не може да бъде установено по принцип) - но защо всъщност?
Обикновено, говорейки за интуитивизма, те дават следния пример за разсъждение, което е неприемливо от гледна точка на интуитивизма. Нека докажем, че има ирационални числа и за които то е рационално. Наистина, разгледайте два случая. Ако е рационално, тогава можем да поставим . Ако е ирационален, тогава поставяме и ; това е лесно да се провери. Интуиционистът ще каже, че това разсъждение е неправилно: да се докаже съществуването на нещо означава да се конструира този обект, а ние не сме построили числата и , защото не сме установили кой от двата случая има място. (Забележете в скоби, че теоретиците на алгебричните числа знаят какво е ирационално и дори трансцендентално. Освен това не е нужно човек да е експерт, за да забележи, че може да постави и .) Този пример може да бъде критикуван и от друга гледна точка, казвайки, че самата концепция за реално число не е интуитивно ясна и изисква обосновка.
Като цяло интуицията е деликатен въпрос: ако говорим дълго време, да речем, за реални числа, тогава започва да изглежда, че те съществуват в някакъв смисъл независимо от нашите разсъждения. Ето защо психологически оправдан е въпросът, да речем, как стоят нещата с хипотезата за континуума „в действителност“: съществува ли неизброимо множество от реални числа, което не е еквивалентно на всички реални числа, или не съществува?
Няма да говорим подробно за философските предпоставки на интуитивизма. Накратко опростената история на проблема е следната. Брауер очерта планове за реорганизация на математиката на интуиционистични принципи и ги защити толкова пламенно, че един ден Хилберттой раздразнено отбеляза, че отмяната на закона за изключената среда би била като отнемане на телескоп от астрономите или забрана на боксьорите да използват юмруци. Но, продължи той, никой не може да изгони математиците от рая, създаден от Кантор.
Плановете на Брауер не включват формализиране на интуиционистичната логика и математика, по-скоро обратното. Независимо от това, анализът на принципите на интуиционизма пое точно по този път, когато Хейтинг започна да изучава пропозиционалната логика без закона за изключената среда. Различни противоречиви интуиционистични принципи са станали обект на изследване от гледна точка на формалната логика; изградени са интуиционистични варианти на формалната аритметика, теорията на множествата, логиката на предикатите, както и вариантите на интуиционистичните системи на Генцен. Предложени са различни интерпретации на интуиционистката логика. Колмогоров предложи да се тълкува като "логика на проблема", Клийн предложи концепцията за "реализируемост", използвайки теорията на алгоритмите за интерпретация на формули; бяха предложени топологични модели за интуиционистката логика и т.н. В СССР училището на Марков подхвана знамето на Брауер, като написа върху него обаче „конструктивизъм“ вместо идеологически съмнителен „интуиционизъм“ и по-последователно се ограничи до крайни обекти. Крипке през 60-те години предлага някаква семантика (определението на истината), съответстваща на интуиционистичното пропозиционално смятане и много естествена (дори е странно, че не е измислена по-рано); Забележително е, че се оказва в известен смисъл близък до метода на форсиране, който Коен изобретява приблизително по същото време, за да докаже независимостта на аксиомата за избор и хипотезата за континуума в теорията на множествата.
Връщайки се към интуиционистичното пропозиционално смятане, представяме няколко формули, които могат да се изведат.