Примери за бинарни отношения - 23 юни 2016 г. - Примери за решаване на задачи - Да решаваме задачи, контролни,

Примери за двоични отношения:

• върху множеството от цели Z, отношенията „разделяне“, „разделяне“, „равно“, „по-голямо от“, „по-малко от“, „взаимопрости“;
• върху множеството от прави в пространството отношенията са “успоредни”, “взаимно перпендикулярни”, “пресичат се”, “пресичат се”, “съвпадат”;
• върху набор от окръжности равнините се "пресичат", "докосват", "концентрични".

Определение 1. Декартовото произведение на множества X и Y е множеството XxY на всички подредени двойки (x, y), така че x∈ X, y∈ Y.

Определение 2. Съответствие между множества X и Y (или съответствие от X към Y) е всяко подмножество на декартовото произведение X × Y. Ако множествата X и Y съвпадат, тогава съответствието между множествата X и Y също се нарича двоично отношение върху множеството X.

Фактът, че кортеж (x, y) принадлежи на съвпадениеρ често се обозначава с помощта на така наречената инфикс нотация: xρ y.

Типични примери за такива записи от курс по математика са:

x > y, a = b, 8⋮4, mp, a⊥b и т.н.

Помислете за още три форми на представяне на двоични отношения: матрично представяне и две графични представяния. За илюстративните примери ще използваме множеството X = a, b, c, d, e> като носител на връзката.

Нека първо разгледаме метод, който се връща към аналитичната геометрия. Нека начертаем двойка взаимно перпендикулярни оси (OX е хоризонталната ос, а OY е вертикалната ос) и върху всяка отбележим точките, представляващи елементите на множеството X (фиг. 1).

Ориз. 1. Решетка

Разглеждайки етикетите a, b, c, d, e като координати на точки на хоризонталната и вертикалната ос, ние маркираме точки в равнината с координати (x, y), така че (x, y) . Фигура 2е показано множеството точки, съответстващи на връзката α = a, b), (a, c), (b, d), (c, e), (e, b), (e, e)>.

Ориз. 2. Бинарна релация α

Друг широко използван начин за представяне на връзки се основава на използването на насочени графи. С това представяне елементите на множеството X се представят чрез върхове на графика (точки от равнината), а елементите (x, y) на релацията a чрез дъги (стрелки), свързващи първия компонент x на релацията с втория компонент y. Графиката на двоичната връзка a е показана на фигура 3.

Ориз. 3. Графика на бинарна връзка

За бинарни отношения, дефинирани върху крайни множества, често се използва матричният метод. Нека е дадено отношение a върху някакво крайно множество X. Нека подредим по някакъв начин елементите на множеството X = x1, x2, . xn> и дефинирайте релационната матрица A = [aij] както следва:

По този начин матрицата на отношението A, представена от графиката на фигура 3, има формата

Често релационната матрица се нарича булева, за да се подчертае, че нейните елементи са само нули и единици.

---