Наръчник за обучение по основи на механиката - грешки
,%
2.1.4. Грешка на инструмента
На практика понякога трябва да се ограничите само до едно измерение. Тогава грешките се оценяват въз основа на цената на най-малкото деление на скалата. Тъй като половината от разделението на скалата обикновено е лесно да се оцени визуално, грешката на измерване с този инструмент не надвишава половината от стойността на едно деление.
Така например, когато се измерва температурата с термометър, разделено на 0,1 °C, грешкатаDtпри едно наблюдение се приема за ± 0,05 °C.
Така при едно измерване абсолютната грешка е половината от точността на уреда.
Пример.:Да предположим, че искате да измерите атмосферното наляганеPс живачен барометър, чиято скала е разделена на милиметри. Наблюдавайки веднъж, те установяват, че налягането е 748 mm Hg. Изкуство. Имайки предвид горното, имамеDР= 0,5 mm Hg. Изкуство. Следователно можем да напишем:
Относителната грешка в този случай ще бъде малка; наистина ли,
2.2. Грешки на индиректни измервания
Нека анализираме следния конкретен пример: даден цилиндър, изработен от някакъв материал (алуминий), е необходимо да се определи плътността на този материал.
Знаем, че плътносттаrе числено равна на съотношението на телесната масаmкъм обемаV:
За цилиндър, чийто диаметър еDи чиято височина еh, обемът се дава от
Тъй като истинските стойности наm, Dиhса неизвестни, стойността наravсе изчислява от f. (7) според средните стойностиmav, Davи hav(изчислени по f. (1)).
Как да намерите грешка, направена виндиректнадефиницияплътност, ако три директно измерени величини имат грешки в измерването (вижте f. (3)):масаmсе измерва с абсолютна грешкаDmav, диаметърD—с грешкаDDav,,и височинаh—с грешкаDhav.
2.2.1. Функция на една променлива
За да разрешим този проблем по общ начин, първо разглеждаме случая на функция на една променлива, тоест определенатаиндиректностойностYе функционално свързана сx, което е достъпно запрякоизмерване. Тогава от теорията на диференциалното смятане получаваме:
среднатаабсолютна грешка на непряко измерванена стойност, зависеща от еднадиректноизмерена стойност (функция на един аргумент) епроизводна на тази функция(изчислена от средните стойности на аргумента), умноженапо средната абсолютна грешка на аргумента.
Относителната грешка се изчислява както в случай на директни измервания (виж f. (6)):
Пример 2.1.Нека се изисква да се определи ускорението на свободното падане от формулата на математическо махало[4]:
!
Нека дължината на махалотоlбъде измерена веднъж с точност, значително надвишаваща точността на измерване на периодаT, така че можем да приемем, чеgе функция на една променливаT.Тогава от f. f. (8, 9) следва (пренебрегвайки знака на производната):
2.2.2. Функция на множество променливи
Нека сега разгледаме случая, когато желаната стойност се определя чрездиректноизмерени стойностиx1,x2, …,xn, тогава:
Може да се покаже, че общата грешкаDYе равно на сумата от абсолютните стойности начастичнигрешки, свързани с грешки в измерванията на отделни стойностиxi, защото (пренебрегвайки знака на частичните производни):
среднатаабсолютна грешка на непряко измерванена величина, зависеща от няколкодиректноизмерени стойности (функция от няколко аргумента) еобщият диференциал на функцията, където увеличенията d се заменят сDср, а производните се изчисляват от средните стойности на аргументите:
(трябва да се отбележи, че функция (12) съвпада с функция (9), ако приемемn=1).
Относителната грешка се изчислява както в случай на директни измервания (виж f. (6)):
Поради това се препоръчва следната процедура за изчисляване на грешките на средния резултат от определената стойност.
1. Според експеримента се изчисляват средните стойности на всяка директно измерена величина (xсрi) и абсолютните грешки на тези стойности(Dxcri).