Симетрала

ъгъл
Ополовяща(от лат.bi-„двоен“, иsectio„сечещ“) на ъгъл – лъч с начало във върха на ъгъла, разделящ ъгъла на два равни ъгъла [1] . Можете също да дефинирате ъглополовяща като геометрично място на точки в рамките на ъгъл, които са на еднакво разстояние от страните на този ъгъл.

Симетралата на триъгълник е отсечката от ъглополовящата, прекарана от върха на ъгъла до пресечната му точка с противоположната страна. Триъгълникът има три ъглополовящи, съответстващи на трите му върха.

Съдържание

  • Във всеки триъгълник ABC, с изключение навътрешенили самоъглополовяща, можете също да начертаетевъншни ъглополовящи, тоест ъглополовящи на ъглите, съседни на вътрешните ъгли на триъгълника. В този случайвътрешнатаивъншната ъглополовящана един и същи ъгълса перпендикулярни.
  • Начертаването в този триъгълник на всичките му тривъншни ъглополовящидо техните пресечни точки една с друга в центровете на извънокръжностите (съответно J_A, J_B, J_C) образува нов триъгълник (виж Фиг.) - триъгълник от три външни ъглополовящи. Това е нов триъгълник от центрове на вписани окръжности с върхове J_A, J_B, J_C, допирателни съответно към страни a, b, c на оригиналния триъгълник.
  • Центърът на окръжността, минаваща през центровете на вписаните окръжности, е точката на Беван.
  • Оригиналният триъгълник е ортотриъгълник за триъгълник \Delta J_AJ_BJ_C
  • Пресечната точка на симедианите на триъгълника, образуван от центровете на неговите външни окръжности J_A, J_B, J_C, е центърътна елипсата на Мандара. Тази точка се нарича на английски m >[2][3]

триъгълник

Свойства на пресичане на ъглополовяща

  • Симетралите на вътрешните ъгли на триъгълник се пресичат в една точка −центъра на окръжност, вписана в този триъгълник.
  • Симетралите на един вътрешен и два външни ъгъла на триъгълник се пресичат в една точка. Тази точка е центърът на една от трите вписани окръжности на този триъгълник.
  • Всяка ъглополовяща на триъгълник е разделена на пресечната точка на ъглополовящите по отношение на сумата от съседните страни на противоположната страна, като се брои от върха.
  • Хиперболата на Фойербахе описана хипербола, минаваща през ортоцентъра и центъра на вписаната окръжност (това също е вписана или пресечна точка навътрешниъглополовящи на триъгълник). Центърът му е в точката на Фойербах. Окръжностите на Подер и Цевиан от точки на хиперболата на Фойербах преминават през точката на Фойербах.

Свойства, свързани с ъгли

  • Всякавътрешна(външна) ъглополовяща на ъгъла на триъгълника, излизащ от неговия връх, разделя тозивътрешен(външен) ъгъл на триъгълника наполовина (на две равни половини).
  • Ъгълът между ъглополовящите на два съседни ъгъла (междувътрешнаивъншнаъглополовящи на ъглите на триъгълник при един връх) е 90 градуса.
  • Вътрешнатаъглополовяща на ъгъла на триъгълникаизогонално спрегнаткъм себе си.

Свойства на ъглополовящи на равнобедрен триъгълник

  • Ако две ъглополовящи в триъгълник са равни, тогава триъгълникът е равнобедрен (теоремата на Щайнер-Лемус), а третата ъглополовяща е едновременно медианата и височината на ъгъла, от който излиза.
  • Обратното също е вярно: в равнобедрен триъгълник две ъглополовящи са равни, а третата ъглополовяща е едновременно медианата и височината.
  • В равнобедрен триъгълник вътрешната ъглополовяща на ъгъла срещу основата на триъгълника е медианата и височината.
  • Един исамо една ъглополовяща на външния ъгъл на равностранен триъгълник може да бъде успоредна на срещуположната страна - основата, ако триъгълникът е равнобедрен.
  • В равностранен триъгълник и трите ъглополовящи на външните ъгли са успоредни на противоположните страни.
  • В равностранен триъгълник трите вътрешни ъглополовящи са равни.

Свойства на основите на ъглополовящите

  • Пресечната точка на ъглополовящата със страната на триъгълника се наричаоснова на ъглополовящата.

  • Теорема за ъглополовящата (вижте фигурата):Ъглополовящатана вътрешнияъгъл на триъгълник разделя противоположната страна (т.е. разделя противоположната страна с нейнатаоснова) в съотношение, равно на отношението на две съседни страни. Тоест \frac= \frac или \frac= \frac.
  • Теоремата за ъглополовящатае специален случай на теоремата на Щайнер.
  • Основитена ъглополовящите на двавътрешнии единвъншенъгъл на триъгълник лежат на една и съща права, ако ъглополовящатана външнияъгълне е успоредна на противоположната странана триъгълника срещу противоположните страни, няма други възможности).
  • Ъглополовящатана вътрешен ъгълна триъгълник разделя противоположната странаизотомичнопо отношение на антибисектрисата на същия ъгъл.
  • Окръжностите, построени като диаметър, върху отсечката, свързващаосновите на вътрешнатаивъншната ъглополовяща, стартирани от единия ъгъл, минават през точките на Аполоний.
  • През точката на Фойербах минаваокръжност, начертана презоснови на ъглополовящите. [4]

Свойства на ъглополовящите оси

  • Ако ъглополовящите на външните ъгли на триъгълникане са успоредни на противоположните страни, тогава техните основи лежат на една и съща права линия, нареченаос на външните ъгли.
  • Точката на Льомоан на триъгълника лежи върху линията на Обер на четириъгълника, образуван от четирите оси на ъглополовящите.

Други имоти

  • Ако триъгълникът е мащабен (неравностранен), тогававътрешната ъглополовяща, начертана от някой от неговите върхове, лежи междувътрешнатамедиана и височината, начертана от същия връх.
  • Разстоянията от страните на ъгъла до всяка точка на ъглополовящата са еднакви.
  • Построяването на триъгълник от три дадени ъглополовящи с помощта на пергел и линейка е невъзможно, [5] дори и да има трисектриса. [6]
  • Трите външни ъглополовящи на всеки триъгълник се пресичат в три различни точки, които са центровете на външните окръжности на оригиналния триъгълник или върховете на така наречениятриъгълник на трите външни ъглополовящи на оригиналния триъгълник[7] .

Дължината на ъглополовящите в триъгълник

За да изведете формулите по-долу, можете да използвате теоремата на Стюарт.

За три ъглополовящи на ъгли A, B и C с дължини съответно l_a, l_b и l_c е валидна следната формула [8]

\fracl_a^2+ \fracl_b^2+\fracl_c^2 = (a+b+c)^2. , w_c^2=a_w \cdot b_w-ab=CE^2=BE \cdot AE-ab ,

  • Incenter(точката на пресичане на трите вътрешни ъглополовящи на триъгълника) разделя вътрешната ъглополовяща на ъгъл A по отношение на \frac, където a , b , c са страните на триъгълника,

  • a, b, c - страни на триъгълника спрямо върховете A, B, C, съответно,
  • \alpha, \beta, \gamma — вътрешни ъгли на триъгълник свърхове A, B, C, съответно,
  • h_c е височината на триъгълника, пусната на страна c.
  • l_c е дължината на вътрешната ъглополовяща, начертана към страната c,
  • a_l, b_l са дължините на отсечките, на които вътрешната ъглополовяща l_c разделя страната c,
  • w_c е дължината на външната ъглополовяща, прекарана от върха C до продължението на страната AB.
  • a_w, b_w са дължините на отсечките, на които външната ъглополовяща w_c разделя страната c=AB и нейното продължение до основата на самата ъглополовяща.
  • Ако медианатаm, височинатаhи вътрешната ъглополовящаtизлизат от същия връх на триъгълника, около който е описана окръжността с радиусR, тогава [9] :p.122,#96
4R^2h^2(t^2-h^2)=t^4(m^2-h^2).

Дължината на ъглополовящите части в триъгълник

  • Разстоянието от върха C до центъра на вписаната окръжност е l_=\frac)>= \sqrt= \sqrt , където R и r са радиусите на описаната и вписаната окръжност, а γ е ъгълът на върха C.
  • Формулите на последния параграф по същество дават дължината на частта от ъглополовящата от върха до точката на тяхното пресичане (до центъра на вписаната окръжност или до центъра).
  • Тази формула и формулата за втората част на вътрешната ъглополовяща също могат да бъдат намерени въз основа на следния факт:
  • Вписан центърразделя вътрешната ъглополовяща на ъгъл A по отношение на \frac, където a , b , c са страните на триъгълника.

Мнемонично правило

  • Симетралата е плъх, който минава около ъглите и разделя ъгъла наполовина.
  • Антибисектор
  • Симетрала
  • Височина (геометрия)
  • Височина на триъгълника
  • Инцентър
  • Медиана
  • Медиана на триъгълник
  • Симедиана
  • Теорема за ъглополовящата
  • Ос на външни ъглополовящи или антиортна ос
  • Триъгълник
  • Триъгълник от три външни ъглополовящи
  • центроид
  • Чевиана

Напишете отзив за статията "Ополовяща"

Бележки

Литература

ъглополовяща в Уикиречник?
  • Коган Б. Ю.Приложение на механиката към геометрията. - М .: Наука, 1965. - 56 с.
  • Понарин Я. П.Елементарна геометрия. В 2 тома - М .: МЦНМО, 2004. - С. 30-31. — ISBN 5-94057-170-0.

Откъс, характеризиращ ъглополовящата