Аксиома - ред - Голямата енциклопедия на нефта и газа, статия,страница 2
Аксиома - ред
Подчертаваме, че от някои аксиоми от ред II, 1 - 4 все още не следва, че всеки сегмент има вътрешни точки. Въпреки това, позовавайки се на аксиомите за членство I, 1 - 3, можем да докажем следното твърдение. [16]
Нека сега разгледаме аксиомите от третата група - аксиомите на реда. [17]
Очевидно аксиомите от инцидентност I и аксиомите от ред II трябва да присъстват във всяка разумна аксиоматика на равнината. Моля ви да обърнете внимание на аксиомата за инцидентност 1b, която гласи, че през всяка точка минава права, успоредна на дадена права, и освен това само една. Постулатът на Евклид утвърждава уникалността на паралела; съществуването му може да се докаже с помощта на други аксиоми. Вярвам, че обединението на твърдения за съществуване и уникалност в една аксиома значително опростява конструкцията на геометрията и че, от друга страна, много малко деца под 16 години могат да почувстват доказателството за съществуване, тъй като съществуването на паралели им изглежда поне толкова експериментално ясно, колкото уникалността. [18]
Доказателството, че проективното съответствие е подредено, следва от аксиомите на подредеността. [19]
Разгледайте някои следствия от аксиомите на връзката и аксиомите на реда. [20]
По този начин всички аксиоми на порядъка на евклидовата геометрия важат в афинната равнина. [21]
Тъй като аксиомите за връзка и аксиомите за реда на геометрията на Евклид са валидни в афинната равнина, всички следствия, произтичащи от тези аксиоми, също се извършват в нея. [22]
Както беше посочено по-горе, за точки от прави в афинна равнина са валидни аксиомите за линеен ред на евклидовата геометрия. Нека покажем, че аксиомата за плоския ред също е в сила. [23]
Да дефинирамесега съотношението на последователността на тройките точки на линията и проверете валидността на аксиомите за реда. [24]
Системата от аксиоми за ред, която използвахме, се различава от системата от аксиоми за ред на Хилберт, която се основава на връзката, изразена от думите лежат между. Теорема 9, без твърдението за уникалност, е една от аксиомите на реда на Хилберт. Въведена е от Паша и се нарича аксиома на Паша. [25]
Системата от аксиоми на Риманова геометрия в тесен смисъл се състои от аксиомите на връзката, аксиомите на реда и аксиомата на непрекъснатостта на проективната геометрия и аксиомите на конгруентността на евклидовата геометрия. [26]
Трите формулирани аксиоми се отнасят до подреждането на геометрични обекти върху правата и затова се наричат линейни аксиоми на реда. Последната аксиома за ред, формулирана по-долу, се отнася до разположението на геометрични обекти в равнина. [27]
Системата от аксиоми, дадена от Хилберт, се състои от пет групи: аксиома за връзка, аксиома за ред, аксиома за конгруентност, аксиома за непрекъснатост и аксиома за паралел. Аксиомите на тези пет групи се отнасят до обекти от три вида - точки, прави, равнини и три отношения между тях, изразени с думите принадлежи, между, конгруентни. Какво е точка, права и равнина и какво е конкретното значение на тези отношения, Хилберт не уточнява. [28]
Проективната геометрия е изградена върху система от аксиоми, която се състои от три групи: аксиоми на връзката, аксиоми на реда и аксиоми на непрекъснатостта. [29]
Трите формулирани аксиоми се отнасят до подреждането на геометрични обекти по права линия и затова се наричат линейни аксиоми на реда. Последната аксиома за ред, формулирана по-долу, се отнася до разположението на геометрични обекти в равнина. [тридесет]