Холономна апроксимация - Голямата енциклопедия на нефта и газа, статия, страница 1

Холономно приближение

Теоремата за холономна апроксимация, която обсъждаме в тази глава, гласи, че в известен смисъл има неочаквано много холономни секции близо до всяко подмногообразие A с V с положителна коразмерност. [1]

Параметричната теорема за холономна апроксимация 3.1.2 се извлича от теорема 3.7.1 по точно същия начин, както теоремата за холономна апроксимация се извлича от теорема 3.2.1, т.е. използвайки индукция върху скелети и прости триангулации. [2]

Проблемът за конструиране на холономна апроксимация на участък от пространството на r - струи в близост до някакво подмногообразие A с R също, като правило, е неразрешим. Единственото изключение е случаят с нулево измерение: всеки участък може да бъде апроксимиран близо до всяка точка чрез r-струята на съответната полиномна карта на Тейлър. [3]

Доказателството на тази теорема буквално повтаря доказателството на холономната апроксимационна теорема 3.1.1. Локалната интегрируемост осигурява реализирането на първата стъпка на индукция при конструиране на холономна 7-апроксимация върху куб. Освен това, микрогъвкавостта ни позволява да докажем съответната версия на интерполационната лема 3.5.1, която е необходима за доказателството на индукционната лема 3.4.1. И накрая, в индуктивното конструиране на желаното апроксимиращо холономно сечение от триангулационните скелети на полиедър A, лема 13.2.2 за разширяване на хомотопията на формалните решения ни позволява да разширим холономните решения, получени при следващата стъпка на индукция, до OpA в класа на формалните решения. [4]

Методът за доказване на /r-принципа, базиран на теоремата за холономна апроксимация, работи добре за отворени многообразия. В случай на затворени колектори, приложението му изисква някои допълнителни трикове,наречена микроразширяване. Методът на холономна апроксимация също е подходящ за затворени диференциални отношения, които имат свойството микрогъвкавост. Най-интересните приложения от този вид са свързани със симплектичната геометрия. Тези приложения са разгледани в третата част на книгата. За удобство на читателя тази част съдържа преглед на основните понятия на симплектичната геометрия. [5]

Първите три части на книгата са посветени на една много обща теорема за холономна апроксимация на сечения от струйни снопове и приложения на тази теорема. VQ / g ( 1 / o), където h: V - V е - малък дифеоморфизъм. [6]

В контраст с горното, следната теорема гласи, че винаги можем да намерим холономна апроксимация на всяка секция F : V - X близо до леко деформирано подмногообразие A c V, ако оригиналното подмногообразие A c V има положителна коразмерност. [7]

Громов относно насочените вграждания и някои други случаи, когато /z-принципът е изпълнен, са непосредствени следствия от теоремата за холономна апроксимация. [9]

Нека / o, f: Sl - R2 са две потапяния и ( / m, ut) е хомотопия на формални потапяния, свързващи ( / o / o) и ( / i / i), т.е. MO t O - Разгледайте разширенията / 0, f: S1 x ( - e, e) - R2 на секции / o, / i и разширението F Sl x ( - e, e) - Jl ( Sl x ( - e, e), R2) на хомотопията / и приложете теоремата за параметрична холономна апроксимация 3.1.2 (вж. [10]

Конструираме холономна апроксимация / - сечение на FU върху K hl ( K) ⊂ V, където / r - (произволно) C е малка дифетопия и се простира до всичкиколектор V. [11]

Тук разглеждаме два геометрични метода: метода на холономната апроксимация, който е нова версия на метода на непрекъснатия лъч, и метода на изпъкналата интеграция. Громов [ Gr86 ], а по-скоро искаме да подготвим читателя да се опита да види съкровищата от идеи, скрити в него. От друга страна, читателят, който се интересува от приложения, ще открие, че с изключение на няколко важни теми (като теорията на Локамп [Lo95] за отрицателната кривина на Ричи и теорията на Доналдсън [Do96] за приблизително холоморфни сечения), повечето известни в момента прояви на /z-принципа могат да бъдат изследвани чрез методите, обсъждани в тази книга. [12]

Тази книга е написана, за да даде достъпно изложение на теорията/r-принципа на границата между анализ и геометрия. Авторите представят два метода за доказване на /z-принципа: холономна апроксимация и изпъкнала интеграция. [13]

Методът за доказване на /r-принципа, базиран на теоремата за холономна апроксимация, работи добре за отворени многообразия. В случай на затворени колектори, приложението му изисква допълнителна техника, наречена микроразширение. Методът на холономна апроксимация също е подходящ за затворени диференциални отношения, които имат свойството микрогъвкавост. Най-интересните приложения от този вид са свързани със симплектичната геометрия. Тези приложения са разгледани в третата част на книгата. За удобство на читателя тази част съдържа преглед на основните понятия на симплектичната геометрия. [14]